Cours de rattrapage — Compréhension d’un énoncé et raisonnement
Introduction
Savoir effectuer un calcul ne suffit pas toujours pour résoudre un problème. Il faut d’abord comprendre précisément :
-
ce que l’énoncé nous apprend ;
-
ce que la question nous demande ;
-
quelles informations sont réellement utiles ;
-
quelles étapes permettent d’obtenir la réponse ;
-
si le résultat obtenu est cohérent.
Une erreur peut donc apparaître avant même le début des calculs. Elle peut venir d’une mauvaise lecture, d’une information oubliée, d’une donnée inutile utilisée à tort ou d’une confusion sur l’objectif du problème.
Dans cette leçon, vous allez apprendre à transformer un énoncé en une démarche mathématique claire.
Objectifs de la leçon
À la fin de cette leçon, vous serez capable de :
-
déterminer si un énoncé contient suffisamment d’informations ;
-
reconnaître une réponse déjà donnée dans un énoncé ;
-
distinguer les informations utiles des informations inutiles ;
-
identifier précisément la grandeur recherchée ;
-
associer une question à l’opération appropriée ;
-
décomposer un problème en plusieurs étapes ;
-
traduire une situation par une expression ou une équation ;
-
contrôler la cohérence d’un résultat ;
-
repérer un raisonnement incomplet ;
-
rédiger une conclusion précise et adaptée à la question.
Chapitre 1 — Déterminer si un problème peut être résolu
1. Définitions
Un énoncé mathématique
Un énoncé mathématique présente une situation contenant généralement :
-
des informations ;
-
des données numériques ou littérales ;
-
une ou plusieurs questions.
Un problème résoluble
Un problème est résoluble lorsque les informations données permettent de répondre à la question sans inventer de valeur supplémentaire.
Une information manquante
Une information est manquante lorsqu’elle est indispensable au raisonnement ou au calcul, mais qu’elle n’apparaît pas dans l’énoncé.
Une réponse déjà présente
Certaines questions ne nécessitent aucun calcul, car la réponse est explicitement écrite dans l’énoncé.
La méthode
Avant de calculer, posez-vous trois questions :
-
Que cherche-t-on ?
-
Quelles données permettent de trouver cette réponse ?
-
Toutes ces données sont-elles présentes ?
2. Exemple détaillé nº 1 — Information manquante
Énoncé
Une association commande 15 manuels scolaires. Le prix total dépend du prix d’un manuel.
Quel est le montant total de la commande ?
Étape 1 — Identifier ce que l’on cherche
On cherche le prix total de 15 manuels.
Étape 2 — Identifier le calcul nécessaire
Le calcul devrait être :
\[\displaystyle\text{Prix total}=15\times\text{prix d'un manuel}\]
Étape 3 — Vérifier les données
Le nombre de manuels est donné : 15.
En revanche, le prix d’un manuel n’est pas indiqué.
Conclusion
Le problème ne peut pas être résolu numériquement. Le prix d’un manuel constitue une information manquante.
Il ne faut ni inventer un prix ni utiliser un nombre qui ne correspond pas à cette information.
3. Exemple détaillé nº 2 — Réponse déjà présente
Énoncé
Une salle informatique peut accueillir au maximum 36 élèves. Elle contient actuellement 29 élèves.
Quelle est la capacité maximale de la salle ?
Étape 1 — Identifier ce que l’on cherche
On cherche la capacité maximale de la salle.
Étape 2 — Relire l’énoncé
La première phrase indique directement que la salle peut accueillir au maximum 36 élèves.
Conclusion
La réponse est déjà présente dans l’énoncé : la capacité maximale est de 36 élèves.
Le calcul suivant serait possible :
\[\displaystyle36-29=7\]Mais il répondrait à une autre question : « Combien reste-t-il de places disponibles ? »
4. Mini-quiz du chapitre 1
Un service de transport propose 18 places dans un minibus. Douze passagers sont déjà installés.
Quel est le prix payé par chaque passager ?
-
A. 6 FCFA
-
B. 12 FCFA
-
C. 18 FCFA
-
D. Il manque une information
Réponse correcte : D
Correction détaillée
La question porte sur le prix payé par chaque passager.
L’énoncé fournit :
-
le nombre total de places ;
-
le nombre de passagers installés.
Il ne fournit aucune information sur le prix total du trajet ni sur le tarif par passager.
Les nombres 18 et 12 permettent seulement de calculer le nombre de places encore disponibles :
\[\displaystyle18-12=6\]Ce résultat ne permet pas de déterminer le prix payé. Une information financière manque donc dans l’énoncé.
Chapitre 2 — Sélectionner les informations pertinentes
1. Définitions
Une information utile
Une information est utile lorsqu’elle intervient dans le raisonnement ou dans le calcul permettant de répondre à la question.
Une information inutile
Une information est inutile lorsqu’elle décrit la situation, mais n’intervient pas dans la résolution de la question posée.
Une information peut être utile pour une question et inutile pour une autre.
La grandeur recherchée
La grandeur recherchée correspond exactement à ce que demande la question :
-
un prix ;
-
une durée ;
-
une distance ;
-
un effectif ;
-
une aire ;
-
un pourcentage ;
-
une quantité restante.
La méthode du tri
Pour chaque donnée, demandez-vous :
Si je supprime cette information, puis-je encore résoudre le problème ?
-
Si la réponse est non, l’information est probablement utile.
-
Si la réponse est oui, elle est probablement inutile pour cette question.
2. Exemple détaillé nº 1 — Repérer une donnée inutile
Énoncé
Un taxi blanc effectue un trajet de 18 km. La prise en charge coûte 700 FCFA et chaque kilomètre coûte 300 FCFA.
Quel est le prix total du trajet ?
Étape 1 — Identifier l’objectif
On cherche le prix total du trajet.
Étape 2 — Classer les informations
Informations utiles :
-
18 km ;
-
700 FCFA de prise en charge ;
-
300 FCFA par kilomètre.
Information inutile :
-
la couleur blanche du taxi.
Étape 3 — Effectuer le calcul
Prix lié à la distance :
\[\displaystyle18\times300=5400\]Prix total :
\[\displaystyle700+5400=6100\]Conclusion
Le trajet coûte 6 100 FCFA. La couleur du taxi n’intervient pas dans le calcul.
3. Exemple détaillé nº 2 — Identifier la bonne proportion
Énoncé
Un lycée compte 600 élèves. Parmi eux, 65 % sont demi-pensionnaires.
Combien d’élèves ne sont pas demi-pensionnaires ?
Étape 1 — Identifier l’objectif
La question ne demande pas le nombre de demi-pensionnaires. Elle demande le nombre d’élèves qui ne le sont pas.
Étape 2 — Déterminer le pourcentage complémentaire
La totalité correspond à 100 %.
\[\displaystyle100\%-65\%=35\%\]Les élèves qui ne sont pas demi-pensionnaires représentent donc 35 % de l’effectif.
Étape 3 — Effectuer le calcul
\[\displaystyle600\times0{,}35=210\]Conclusion
210 élèves ne sont pas demi-pensionnaires.
L’opération suivante aurait répondu à une autre question :
\[\displaystyle600\times0{,}65=390\]Elle donne le nombre de demi-pensionnaires.
4. Mini-quiz du chapitre 2
Un ordinateur bleu coûte 280 000 FCFA. Une remise de 10 % est appliquée. Le magasin ferme à 19 heures.
Quelle donnée est inutile pour calculer le prix après remise ?
-
A. La couleur de l’ordinateur
-
B. L’heure de fermeture du magasin
-
C. La couleur et l’heure de fermeture
-
D. Le prix initial et le taux de remise
Réponse correcte : C
Correction détaillée
Pour calculer le prix après remise, on utilise :
-
le prix initial : 280 000 FCFA ;
-
le taux de remise : 10 %.
La couleur de l’ordinateur et l’heure de fermeture du magasin n’interviennent pas dans le calcul.
Montant de la remise :
\[\displaystyle280000\times0{,}10=28000\]Prix après remise :
\[\displaystyle280000-28000=252000\]L’ordinateur coûte donc 252 000 FCFA après la remise.
Chapitre 3 — Construire la démarche de résolution
1. Définitions
Une opération appropriée
Une opération est appropriée lorsqu’elle traduit correctement la relation entre les données et la grandeur recherchée.
Une question intermédiaire
Une question intermédiaire correspond à un résultat qu’il faut déterminer avant de pouvoir répondre à la question principale.
Traduire un énoncé
Traduire un énoncé consiste à transformer les informations écrites en :
-
une expression numérique ;
-
une équation ;
-
une inéquation ;
-
un tableau ;
-
un schéma ;
-
une suite d’opérations.
Quelques relations fréquentes
Pour réunir plusieurs quantités :
\[\displaystyle\text{Total}=\text{première quantité}+\text{deuxième quantité}\]Pour déterminer ce qui reste :
\[\displaystyle\text{Reste}=\text{quantité initiale}-\text{quantité utilisée}\]Pour calculer le prix de plusieurs articles identiques :
\[\displaystyle\text{Prix total}=\text{quantité}\times\text{prix unitaire}\]Pour effectuer un partage équitable :
\[\displaystyle\text{Part individuelle}=\frac{\text{quantité totale}}{\text{nombre de parts}}\]2. Exemple détaillé nº 1 — Distinguer deux questions
Énoncé
Un élève achète cinq cahiers à 750 FCFA l’unité et une règle à 400 FCFA. Il remet 5 000 FCFA au vendeur.
-
Combien coûtent les achats ?
-
Combien le vendeur doit-il rendre ?
Première question — Calculer le coût des achats
Prix des cinq cahiers :
\[\displaystyle5\times750=3750\]Prix total :
\[\displaystyle3750+400=4150\]Les achats coûtent 4 150 FCFA.
Deuxième question — Calculer la monnaie rendue
La somme remise au vendeur est de 5 000 FCFA.
\[\displaystyle5000-4150=850\]Le vendeur doit rendre 850 FCFA.
Point essentiel
Les deux questions utilisent les mêmes données, mais elles ne demandent pas la même grandeur.
-
Le coût des achats correspond à une multiplication suivie d’une addition.
-
La monnaie rendue correspond à une soustraction supplémentaire.
3. Exemple détaillé nº 2 — Traduire par une équation
Énoncé
Un service de livraison facture 1 500 FCFA de frais fixes, puis 350 FCFA par kilomètre. Une livraison a coûté 5 700 FCFA.
Quelle distance a été parcourue ?
Étape 1 — Choisir l’inconnue
On note (x) la distance parcourue, en kilomètres.
Étape 2 — Traduire chaque information
Frais fixes :
\[\displaystyle1500\]Prix correspondant à (x) kilomètres :
\[\displaystyle350x\]Prix total :
\[\displaystyle1500+350x\]Étape 3 — Écrire l’équation
\[\displaystyle1500+350x=5700\]Étape 4 — Résoudre l’équation
\[\displaystyle350x=5700-1500\]\[\displaystyle350x=4200\]\[\displaystyle x=\frac{4200}{350}=12\]Conclusion
La distance parcourue est de 12 km.
Vérification
\[\displaystyle1500+350\times12=1500+4200=5700\]Le résultat vérifie bien les informations de l’énoncé.
4. Mini-quiz du chapitre 3
Un terrain rectangulaire possède un périmètre de 70 m et une largeur de 12 m.
Quelle est la première étape permettant de calculer son aire ?
-
A. Calculer (70\times12)
-
B. Déterminer la longueur du terrain
-
C. Calculer (12^2)
-
D. Diviser 70 par 12
Réponse correcte : B
Correction détaillée
L’aire d’un rectangle se calcule avec sa longueur et sa largeur :
\[\displaystyle\mathcal{A}=L\times l\]La largeur est connue, mais la longueur ne l’est pas. Il faut donc commencer par la déterminer.
Le périmètre vérifie :
\[\displaystyle2(L+12)=70\]On divise par 2 :
\[\displaystyle L+12=35\]Puis :
\[\displaystyle L=35-12=23\]L’aire vaut ensuite :
\[\displaystyle\mathcal{A}=23\times12=276\]L’aire du terrain est de 276 m².
Chapitre 4 — Vérifier et rédiger une réponse complète
1. Définitions
Un résultat cohérent
Un résultat est cohérent lorsqu’il respecte :
-
le sens de la situation ;
-
l’ordre de grandeur attendu ;
-
les unités ;
-
les contraintes de l’énoncé.
Un raisonnement incomplet
Un raisonnement est incomplet lorsqu’une étape indispensable a été oubliée ou lorsqu’une mauvaise quantité a été utilisée.
Une conclusion complète
Une bonne conclusion contient :
-
la valeur obtenue ;
-
l’unité ;
-
la grandeur ou la population concernée ;
-
une phrase répondant précisément à la question.
2. Exemple détaillé nº 1 — Contrôler la cohérence
Énoncé
Un téléphone coûtant 120 000 FCFA bénéficie d’une réduction de 20 %. Un élève affirme que son nouveau prix est de 144 000 FCFA.
Étape 1 — Examiner le sens du résultat
Une réduction doit faire diminuer le prix.
Or :
\[\displaystyle144000>120000\]Le résultat annoncé est immédiatement incohérent.
Étape 2 — Refaire le calcul
Montant de la réduction :
\[\displaystyle120000\times0{,}20=24000\]Nouveau prix :
\[\displaystyle120000-24000=96000\]Conclusion
Le prix après réduction est de 96 000 FCFA.
L’élève a probablement ajouté le montant de la réduction au lieu de le soustraire.
3. Exemple détaillé nº 2 — Repérer une quantité supplémentaire
Énoncé
Un abonnement comprend 10 heures de connexion. Chaque heure supplémentaire coûte 500 FCFA. Un utilisateur consomme 14 heures.
Un élève calcule :
\[\displaystyle14\times500=7000\]Étape 1 — Identifier la quantité facturée
Les 10 premières heures sont comprises dans l’abonnement.
Seules les heures supplémentaires sont facturées.
Étape 2 — Calculer le dépassement
\[\displaystyle14-10=4\]L’utilisateur a consommé quatre heures supplémentaires.
Étape 3 — Calculer le supplément
\[\displaystyle4\times500=2000\]Conclusion
Le supplément à payer est de 2 000 FCFA.
L’élève a facturé les 14 heures alors qu’il devait facturer uniquement les quatre heures supplémentaires.
4. Mini-quiz du chapitre 4
Une enquête est menée auprès de 250 élèves. Parmi eux, 175 déclarent réviser chaque semaine.
Quelle conclusion est correctement rédigée ?
-
A. Le résultat est 0,7.
-
B. 70
-
C. 70 % des élèves interrogés déclarent réviser chaque semaine.
-
D. 70 % de tous les élèves du pays révisent chaque semaine.
Réponse correcte : C
Correction détaillée
La proportion est :
\[\displaystyle\frac{175}{250}=0{,}7\]On transforme cette écriture en pourcentage :
\[\displaystyle0{,}7\times100=70\%\]La conclusion doit préciser :
-
la valeur : 70 % ;
-
la population : les élèves interrogés ;
-
le comportement observé : réviser chaque semaine.
On ne peut pas généraliser le résultat à tous les élèves du pays, car l’étude porte uniquement sur les 250 élèves interrogés.
Fiche méthode — La démarche en six étapes
Étape 1 — Lire la question
Commencez par identifier exactement ce que vous devez trouver.
Reformulez la question :
Je cherche…
Exemples :
-
je cherche un prix total ;
-
je cherche une distance ;
-
je cherche le nombre d’élèves restants ;
-
je cherche un pourcentage ;
-
je cherche une valeur inconnue.
Étape 2 — Identifier les données utiles
Repérez uniquement les informations nécessaires pour répondre à la question.
Ne cherchez pas à utiliser automatiquement tous les nombres.
Étape 3 — Vérifier que les données sont suffisantes
Demandez-vous si chaque valeur indispensable est présente.
Si une donnée manque, indiquez précisément laquelle.
Étape 4 — Construire la démarche
Déterminez :
-
l’opération principale ;
-
les éventuelles questions intermédiaires ;
-
l’ordre des calculs ;
-
l’équation à écrire si une valeur est inconnue.
Étape 5 — Effectuer les calculs
Respectez :
-
les priorités opératoires ;
-
les unités ;
-
les conversions ;
-
les signes ;
-
les valeurs interdites éventuelles.
Étape 6 — Contrôler et conclure
Vérifiez :
-
le sens du résultat ;
-
son ordre de grandeur ;
-
son unité ;
-
sa compatibilité avec la situation.
Terminez par une phrase complète répondant à la question.
Correction détaillée du quiz diagnostic préalable
Question 1 — Information manquante
Yasmine fêtera son anniversaire la semaine prochaine, mais l’énoncé ne donne ni son âge actuel ni son année de naissance.
Réponse correcte : B. Non, une information manque.
Il est impossible de déterminer son âge sans une information supplémentaire.
Question 2 — Information inutile
Le taxi effectue un trajet de 12 km. La prise en charge coûte 600 FCFA et chaque kilomètre coûte 250 FCFA.
L’information inutile est la couleur jaune du taxi.
Prix total :
\[\displaystyle600+12\times250=3600\]Le trajet coûte 3 600 FCFA.
Question 3 — Réponse déjà présente
L’énoncé indique explicitement que la salle peut accueillir au maximum 32 élèves.
Réponse correcte : C. La réponse figure déjà dans l’énoncé.
Le nombre actuel de 27 élèves servirait à calculer les places disponibles, mais cette question n’est pas posée.
Question 4 — Données suffisantes
La hauteur précédente est de 1,80 m et l’arbre a grandi de 25 cm.
Conversion :
\[\displaystyle25\text{cm}=0{,}25\text{m}\]Nouvelle hauteur :
\[\displaystyle1{,}80+0{,}25=2{,}05\]Réponse correcte : A.
L’arbre mesure maintenant 2,05 m.
Question 5 — Coefficients inconnus
Si les cinq évaluations avaient le même coefficient, la nouvelle moyenne serait :
\[\displaystyle\frac{4\times13+16}{5}=13{,}6\]Cependant, l’énoncé ne précise pas les coefficients.
Réponse correcte : C. Il est impossible de répondre avec certitude.
Une moyenne pondérée dépend des coefficients associés aux notes.
Question 6 — Deux questions différentes
Prix des quatre cahiers :
\[\displaystyle4\times850=3400\]Prix total des achats :
\[\displaystyle3400+300=3700\]La bonne opération pour la première question est donc :
\[\displaystyle4\times850+300\]Monnaie rendue :
\[\displaystyle5000-3700=1300\]La bonne opération pour la seconde question est :
\[\displaystyle5000-(4\times850+300)\]Réponses correctes : 1-B et 2-A.
Question 7 — Identifier l’objectif
Si 60 % des élèves sont des filles, les garçons représentent :
\[\displaystyle100\%-60\%=40\%\]Le nombre de garçons est :
\[\displaystyle480\times0{,}40=192\]Réponse correcte : B.
Le lycée compte 192 garçons.
Question 8 — Choisir la première étape
Pour calculer l’aire du jardin, il faut connaître sa longueur et sa largeur.
La largeur est connue. Il faut d’abord déterminer la longueur.
\[\displaystyle2(L+10)=54\]\[\displaystyle L+10=27\]\[\displaystyle L=17\]L’aire vaut ensuite :
\[\displaystyle17\times10=170\]Réponse correcte : C.
L’aire du jardin est de 170 m².
Question 9 — Traduire un énoncé par une équation
Le prix total est composé :
-
de 1 000 FCFA de frais fixes ;
-
de 400 FCFA pour chacun des (x) kilomètres.
L’équation est :
\[\displaystyle1000+400x=4200\]Résolution :
\[\displaystyle400x=3200\]\[\displaystyle x=8\]Réponse correcte : C.
La distance parcourue est de 8 km.
Question 10 — Contrôler la cohérence
Une réduction doit produire un prix inférieur au prix initial.
Montant de la réduction :
\[\displaystyle20000\times0{,}15=3000\]Nouveau prix :
\[\displaystyle20000-3000=17000\]Réponse correcte : B.
Le résultat de 23 000 FCFA est incohérent. L’élève a ajouté la réduction au lieu de la soustraire.
Question 11 — Distinguer calcul et conclusion
Calcul de la proportion :
\[\displaystyle\frac{130}{200}=0{,}65=65\%\]Première réponse correcte : B. 65 %.
Une conclusion complète est :
65 % des élèves interrogés utilisent les transports en commun.
Deuxième réponse correcte : C.
La conclusion ne doit pas être généralisée à tous les élèves, car l’étude porte uniquement sur les 200 élèves interrogés.
Question 12 — Repérer un raisonnement incomplet
Les cinq premiers gigaoctets sont compris dans l’abonnement.
Nombre de gigaoctets supplémentaires :
\[\displaystyle8-5=3\]Montant du supplément :
\[\displaystyle3\times150=450\]Prix total :
\[\displaystyle4500+450=4950\]Réponse correcte : B.
L’élève a facturé les huit gigaoctets au lieu de facturer uniquement les trois gigaoctets supplémentaires.
Conclusion de la leçon
Avant chaque résolution, prenez l’habitude d’écrire mentalement ou sur votre brouillon :
-
Je cherche…
-
Je sais…
-
Il me manque éventuellement…
-
Je dois d’abord…
-
Je calcule…
-
Je vérifie…
-
Je conclus…
Cette méthode permet d’éviter une grande partie des erreurs de compréhension et de raisonnement. Elle s’applique aux problèmes d’arithmétique, d’algèbre, de géométrie, de statistiques et de probabilités.